Alexey Romanov

Формулировка парадокса

Однажды в воскресенье начальник тюрьмы вызвал преступника, приговорённого к казни, и сообщил ему:

* Вас казнят на следующей неделе в полдень.
* День казни станет для вас сюрпризом, вы узнаете о нем только когда палач в полдень войдет к вам в камеру.

Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал.
Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: «В воскресенье меня казнить не могут! Ведь тогда уже в полдень субботы я буду знать об этом. А по словам начальника я не буду знать день своей казни. Следовательно последний возможный день моей казни — суббота. Но если меня не казнят в пятницу, то я буду заранее знать что меня казнят в субботу, значит и ее можно исключить.» Последовательно исключив пятницу, четверг, среду, вторник и понедельник преступник пришел к выводу, что начальник не сможет его казнить, выполнив все свои слова.

На следующей неделе, палач постучал в его дверь в полдень в среду — это было для него полной неожиданностью. Все, что начальник тюрьмы сказал, осуществилось. Где недостаток в рассуждении заключённого?

Одно из решений

Знание мы будем понимать стандартно: «заключённый знает p» <=> «p есть истинное и обоснованное мнение заключённого».

Обозначим s = "приговор будет в точности исполнен", Ks = "заключённый знает, что s"

Заметьте, что шаг: «В воскресенье меня казнить не могут! Ведь тогда уже в полдень субботы я буду знать об этом.» требует истинности Ks. В самом деле, если заключённый не уверен в исполнении приговора, и его не казнили до полудня субботы, то у него нет оснований полагать, что его казнят в воскресенье, а не (например) в следующий понедельник или вечером субботы. Так что строго говоря, доказано только Ks → ¬s. Из истинности знания мы также имеем Ks → s и Ks → (s ∧ ¬s).

Но само по себе это не противоречие; для противоречия нужно ещё, чтобы Ks было истинно. Это и призвано обеспечить условие «Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал.» Но мы видим, что оно эту работу не выполняет: ведь заключённый в результате приходит к выводу, что приговор привести в исполнение нельзя, то есть что начальник соврал!

Значит:
1) приговор может быть приведён в исполнение
2) при этом заключённый не знает, что приговор будет приведён в исполнение

В принцип познаваемости вместо Фитчевского "p и не известно, что p" можно подставить "p и никто никогда не узнает, что p". Например, p может быть "на глубине 50 метров умерла бактерия".