А как вы при этом переводите "with the aid of the whole of math", и это повторяктся дважды?
Имеется в виду, что доказательство может использовать все математические знания, независимо от того, к какому разделу они относятся (кстати, это не совсем корректно).

Гедель в оригинале писал по-английски?
Нет; статья, в которой доказана теорема о неполноте, написана на немецком.